东大20年7月考试《离散数学X》考核作业【标准答案】

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离散数学X  试 卷（作业考核 线上2）  A  卷（共 4  页）

总分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十

得分

一.  (13分)有两个小题

1．分别说明联结词Ø、∧、∨、→和«在自然语言中表示什么含义。

2．分别列出PÚQ、PÙQ、P«Q、P®Q的真值表(填下表)。

P Q PÚQ PÙQ P«Q P®Q

二. (10分)写出命题公式 (Q→ØP)→Q 的主合取范式。（要求有解题过程）

三. (14分) 用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写推理过程。

“xC(x), $x(A(x)ÚB(x)), “x(B(x)®ØC(x)) Þ $xA(x)

四．(12分)令集合A={1,{1}},B={1}，P(A)表示A的幂集。分别计算：

（注意：要求有计算过程，不能直接写出结果！）

(1)  A×P(B)

(2)  A⊕B

(3)  P(A)－P(B)

五. (25分)给定集合A={1,2,3},定义A上的关系如下：

R={<1,2>,<2,3>,<3,1>}

S=A×A(完全关系（全域关系）)

T={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}

M={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}

1.写出关系R的矩阵；再画出上述各个关系的有向图。

2.判断各个关系性质。用“√”表示“是”，用“×”表示“否”，填下表：

自反的 反自反的 对称的 反对称的 传递的

R

S

T

M

3.上述四个关系中，哪些是等价关系？哪些是偏序关系？对等价关系，写出此等价关系的各个等价类。

4.求复合关系RoT

六. (12分) R是实数集合，给出R上的运算如下：×、+、|x-y|、min、max,分别表示乘法、加法、x-y的绝对值、两个数中取最小的、两个数中取最大的运算。

1. 判断各个运算性质。用“√”表示“是”，用“×”表示“否”，

填下表：

|x-y| max  × min +

有交换性

有结合性

有幂等性

有幺元

有零元

2.指出R对上面哪些运算构成群？.

七. (14分) 有三个小题

1. 指出下面各个图中哪些是彼此同构的.

2.上面图b与c显然是不同构的，请说明不同构的理由（说明一个即可。）

3.请画出五个具有五个结点的无向图，使之分别满足：

(1) 是欧拉图但不是汉密尔顿图。

(2) 既是欧拉图也是汉密尔顿图。

(3) 是完全图K5。

(4) 是棵树。

(5) 是汉密尔顿图但不是欧拉图 。