福建师范大学2020年8月课程考试《近世代数》作业考核试题【标准答案】

《近世代数》期末考试A卷

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一、判断题(共20分，5个小题，每小题4分）

1. 剩余类环 中没有非零的零因子。            （   ）

2. 群中指数为2的子群一定是正规子群           （   ）

3. 已知 是有限群 的子群，  和 分别表示 和 的元素个数，则   不一定能整除                （   ）

4. 数域上的全矩阵环不是单环。                 （   ）

5. 环中理想的乘积还是理想。                   （   ）

二、计算证明题（共80分，4个小题，每小题20分）

1. 设 是整数集，规定 ，证明： 关于所定义的

运算构成交换群

2.  在四元对称群 中,设 .

(1) 写出 的轮换分解式(即将 写成一些互不相交的轮换的乘积);

(2) 设集合 , 试写出 中全部元素(用轮换分解式表示);

3.  有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问:

这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程)

4. 求出剩余类环 的所有理想和所有极大理想。