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高等数学（二）
第 8 章
多元函数微分学
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8．3 全微分
本节的知识点：
全微分的不雅点
二元函数可微的须要前提
二元函数可微的充分前提
4.1节
《导学》
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2、全微分在近似打算的利用（略）
第8.3节
一元函数 y = f (x) 的微分
本节内容:
1、全增量与全微分的不雅点
全微分
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定义1
设二元函数
在点
的某一个邻域
在
内分辨有增量
跟
函数的增量
时，
称为函数
内有定义，当自变量
在点
处的全增量.
1. 全增量与全微分的不雅点
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例1 设有一块矩形的金属薄板，长为 x ,宽为 y.
金属薄板受热收缩，长增加
，宽增加
求金属薄板的面积增加了多少？
解：设金属薄板的面积为 S ,则 S = x y .
面积增加
面积的全增量
由两部分构成.
第一部分：
，是
与
的线性函数.
第二部分：
，是当
高阶无穷小量. 即
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定义2 假如函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
可表示成
其中 A , B 不依附于? x , ? y , 仅与 x , y 有关，
称为函数奥鹏南开答案请进：opzy.net或请联系微信：1095258436
在点 (x, y) 的全微分, 记作
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
处全增量
则称此函数在D 内可微.
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(2) 偏导数持续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关联:
(1) 函数可微
函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
当函数可微时 :
得
函数在该点持续
偏导数存在
函数可微
即
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定理1 (须要前提)
若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点的偏导数
同样可证
证:因函数在点(x, y) 可微, 故
必存在,且有
掉掉落对 x 的偏增量
可微的须要前提
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例2. 函数
易知
但
因此,函数在点 (0,0) 弗成微 .
留神: 定理1 的逆定理不成破 .
偏导数存在,但函数 不必定可微 !
即:
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定理2 (充分前提)
证：
若函数
的偏导数
则函数在该点可微分.
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所以函数
在点
可微.
留神到
, 故有
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推广:
类似可探究三元及三元以上函数的可微性成绩.
比方, 三元函数
习气上把自变量的增量用微分表示,
的全微分为
于是
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例3. 打算函数
在点 (2,1) 处的全微分.
解:
例4. 打算函数
的全微分.
解:
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练习与功课题 3
习题 8-3
1 . （1） ,（2）,（3）,(4),(6)
2.
3.
高等数学（上册）李君湘 邱忠文 天津大学出版社（第1版）
8.3节 结束
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