奥鹏作业网第7章 向量代数与空间剖析多少何
在平面剖析多少何中，经由过程平面直角坐标系树破了平面上的点与二元有序实数对之间的逐个对应关联，从而可能用代数的方法来研究多少何成绩，这为一元微积分学供给了直不雅的多少何背景。空间剖析多少何也是按照类似的方法树破起来的，并为研究多元函数微积分学供给直不雅的多少何背景。
本章起首树破空间直角坐标系，然后介绍向量及向量的一些运算，并以向量为东西来探究空间的平面跟直线，并介绍空间曲面跟空间曲线的部分外容。
§7.1 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系
过空间必定点，作三条相互垂直的数轴，它们都以点为原点且一般存在雷同的长度单位。这三条轴分辨称为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），统称为坐标轴。定点称为坐标原点。
坐标轴的正向平日符合右伎俩令：即以右手握住轴，当右手的四个手指从轴的正半轴以角度转向轴的正半轴时，大拇指所指偏向就是轴的正向（图6-1），如许的三条坐标轴就构成了空间直角坐标系。
在空间直角坐标系中，两条坐标轴断定的一个平面称为坐标面，分辨为面、面、面。平日取面位于程度地位，轴竖直向上。三个坐标面将空间分为个部分，每一部分称为卦限，含有轴、轴与轴正半轴的那个卦限称为第一卦限，个卦限的编号分辨用I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示（图6-2）。
在空间直角坐标系下，怎样来表示空间中的点的坐标呢？设为空间一已知点，过作三个平面分辨垂直于轴、轴与轴，这三个平面与轴、轴与轴交于、、
三点（图6-3），点、、在轴、轴与轴的坐标顺次为、、，于是由空间中一点就独一地断定了一个三元有序实数组、、；反过去，已知一个三元有序实数组、、，则可在、、轴上分辨取坐标顺次为、、的点、、，再过点、、分辨作轴、轴与轴的垂直平面，这三个垂直平面的交点就是由三元有序实数组、、所断定的独一的点。如许就树破了空间点与三元有序实数组、、之间的逐个对应关联，我们把这组数称为点的坐标，记为，并顺次称、跟为点的横坐标、纵坐标跟竖坐标。特别地，原点的坐标为，轴、轴、轴上的点的坐标分辨为，，，三个坐标面上的点的坐标分辨为，，。
二、两点间的间隔
已知空间两点跟，求跟之间的间隔。
过跟各作三个分辨垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以为对角线的长方体（图6-4）。因为及均为直角三角形，所以
所以
（1）
此公式称为空间两点间的间隔公式。
特别，空间一点与原点的间隔为
例1 在轴上找一点，使它与点的间隔为。
解：点在轴上，设其坐标为，由公式（1）即得
即
解得
故所求点为跟。
例2 求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
证： 因为
所以
故为等腰三角形。
功课
习题 7-1
1．2． 3. 4. 5.
§7.2 向量代数
一、向量的不雅点
在现实成绩中，如品质、温度、体积等如许只有大小，不偏向的量，我们称之为数量或标量。其余如物体活动速度、减速度、力跟力矩等如许不只有大小，并且有偏向的量，我们称之为向量或矢量。
平日用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的偏向表示向量的偏向。以为出发点，为起点的有向线段所表示的向量记为，也可用带箭头的小写字母、、或黑体字母、、等表示向量(图6-5)。
向量的大小叫做向量的模。向量、、的模顺次记为、、。模等于零的向量称为零向量，记作或；零向量的偏向为恣意的。模为1的向量称为单位向量，偏向与雷同的单位向量称为向量的单位向量，记作。
偏向雷同且模相称的两个向量跟称为相称的，记作。留神，这里所说的偏向雷同是指它们相互平行（或在同一条直线上），且指向雷同。因此，经过平行挪动后可能完全重合的 向量是相称的。如许的向量与出发点有关，可能在空间自由平移，故称自由向量。在数学上，我们只研究这种与出发点有关的自由向量。
二、向量的加法奥鹏南开答案请进：opzy.net或请联系微信：1095258436
两向量、始于同一点，作以、为邻边的平行四边形，则由始点到对角顶点的向量称为、之跟，记为（图6-6），这种方法称为平行四边形法则。
如将平行挪动，使其始点与的起点重合，则由的始点到起点的向量叫做、之跟，这种方法称为三角形法则（图6-7）。
三角形法则还可能推广到求空间恣意无限个向量的跟，从第一个向量开端，顺次把下一个向量的出发点放在前一个向量的起点上，最后从第一个向量的始点到最末一个向量的起点的有向线段，就是这些向量的跟（图6-8）。这种方法叫做向量加法的多边形法则。
向量的加法存鄙人列性质：
（1）交换律：
（2）结合律：
与向量有相称长度而偏向相反的向量，叫做的负向量，记作。向量减向量规定为向量与向量的负向量之跟：
称为向量与之差（图6-9）。
特别地，当时，有
由三角形两边之跟大于第三边的道理，有
及
其中，当与同向或反向时等号成破。
三、数乘向量
向量与实数的乘积记作，的规定如下：
（1）是一个向量
（2），即向量的长度为。
（3）若，与的偏向雷同；
若，与的偏向相反；
若，是零向量；
（4）若为零向量，规定。
数乘向量满意下列运算法则：
（1）
（2）
（3）
其中，、为实数。
这些法则证明较简单，证明从略。
设为非零向量，则的单位向量可写为
向量的加法跟数乘向量统称为向量的线性运算。
例1 中,是 边上的三平分点，如图6-10，设，。试用，表示，。
解：由三角形法则，知
再由数乘向量，知
从及中可得
，
所以
，
。
定理1 向量，那么，向量平行于的充分须要前提是：存在独一实数，使。
证： 充分性。若存在独一实数，使，则与同向（当）或反向（当），因此必有。
须要性。若，取，有
当与同向时取正值，当与反向时取负值，即有。
再证独一性，设，又设，两式相减，得
，及。
因，故，即。
定理证毕。
四、向量的坐标
在直角坐标系中，以坐标原点为始点，向空间一点所引的向量，叫做点对于点的向径，平日用表示。
在、、轴的正偏向上各取一个单位向量，分辨记为、、，称为基本单位向量。
设向径，起点为。自点向轴作垂线，垂足为，自点向面作垂线，垂足为，再由分辨向轴、轴作垂线，垂足分辨是、，由图6-11，利用向量的加法可得，
，
在中，，。又，所以得
又，，，
故
显然，在向径与其起点之间是逐个对应关联，即与三元有序数组、、之间存在逐个对应关联，因此向径由有序数组、、独一断定，我们把这个有序数组叫做向径的坐标，并记作
上式称为向径的坐标表示式。
在这里特别夸大，一个点与该点的向径有雷同的坐标，暗号既表示点，又表示向量，因此，求点的坐标就是求的坐标。但要留神，在多少何中，点与向量是两个差其余不雅点，弗成混淆，在看到暗号时，须从高低文去认清它毕竟表示点还是表示向量，当表示向量时，可对它停止运算；当表示点时，就不克不及停止运算。
利用向径的坐标表示式，我们轻易掉掉落空间中任意向量的坐标表示式。
已知空间两点跟，作以为始点，为起点的向量，（图6-12）连接，，则有
于是
综上所述，向量的坐标等于它起点与始点的对应坐标之差。
利用向量的坐标，可得向量的线性运算如下：
设 ，
即 ，
利用向量加法的交换律与结合律，以及数乘向量的结合律与分配律，有
即
这里为恣意实数。
定理1指出，当向量时，向量，相称于，坐标表示式为
这也相称于向量与的坐标成比例：
将点跟间的线段分为三平分，求分点的坐标。
解：设分点顺次为。因为
所以
同理，因为
所以
综上，分点顺次为。
既然向量的重要特点是长度跟偏向，那么怎样用向量的坐标来表示它的长度跟偏向呢？
任给向量，作向径，则，点的坐标为，因此。
为了表示向量的偏向，先引进两向量夹角的不雅点。
设有两个非零向量，作向径，规定不超越的（设，）称为向量与的夹角（图6-13）记作
或。假如向量中有一个是零向量，规定它们的夹角可能是与之间的恣意值。
非零向量与三条坐标轴的夹角称为向量的偏向角（图6-14），偏向角的余弦称为向量的偏向余弦。轻易推得
以及关联式 。
假如长短零向量，则的单位向量，因此
这阐明以的三个偏向余弦为坐标的向量是的单位向量。
例3 已知两点，，打算向量的模，偏向余弦及单位向量。
解：
它的单位向量
例4 已知向量的。求向量。
解： 向量的偏向余弦有下列关联
。
由此，解得
。
则向量的坐标为
于是所求向量有两个：。
五 向量的数量积跟向量积
1、向量的数量积
先引入一个例子。设一物体在常力感化下沿直线从挪动到，即有位移，若力与位移的夹角为（图6-15），则由物理学知，力所做的功为
在数学上加以抽象，我们有如下定义：
定义：设有向量跟，它们的夹角记作（），则称数值为向量与的数量积（或点积），记作，即
根据这个定义，上述成绩中力所作的功是力与位移的数量积，即
由数量积的定义可得
（1）
（2）若、为两个非零向量，则的充要前提是
这是因为当时，
的充要前提是，即。
因为零向量的偏向可能看作是恣意的，故可能认为零向量与任意向量都垂直，因此，上述结论可叙说为：向量的充要前提是。
向量的数量积满意下列运算法则：
交换律
分配律
对于数的结合律 （为实数）
试用向量证明三角形的余弦定理。
证 设在中，（图6-16），要证。
记，则有
，
从而
由及，即得
下面我们来推导向量的数量积的坐标表示式
设，按数量积的运算法则可得
因为、、相互垂直，所以，。又因为、、的模为1，所以。因此得
上式表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标两两乘积之跟。
利用两个向量的的数量积，可能求出它们的夹角余弦，当、都不是零向量时，
于是，由向量的充要前提是，又掉掉落
向量的充要前提
例2 已知的三个顶点为。试证是直角三角形。
证：三角形三边地点向量为
轻易打算得
即 ，所以是直角三角形。
设向量，求以、为邻边的平行四边形的两条对角线之间的不大于的夹角的余弦。
解：以、为邻边的平行四边形的两条对角线地点的向量为
不大于的夹角的余弦为
。
2、向量的向量积
前面我们探究了向量的一种乘法运算，数量积。运算成果是一个数。但在物理跟工程范畴中每每还须要向量的另一种乘法运算，运算成果是一个新的向量，这就引出数学上两向量的向量积的定义。
定义2 两向量跟的向量积是一个向量，记为。由下列前提断定：
（1），（）。
（2）且。
（3）、、的偏向服从右伎俩令：即平移、、使其有独特的始点，当右手的四个手指从以不超越的角度转向握拳时，大拇指所指偏向就是的偏向。
向量积又称为叉积，向量积的模的多少何意思是：它的数值是以、为邻边的平行四边形的面积。
由向量积的定义可得
（1）
（2）若、为非零向量，则的充要前提是
因为当，时，，只有，故或，所以。反之，若，则，故。
因为零向量偏向可看作是恣意的，故可能认为零向量与任意向量都平行，因此，上述结论可叙说为：向量的充要前提是。
向量的向量积满意下列运算法则
（1）
（2）
（3） （为实数）
下面我们来推导向量的向量积的坐标表示式
设，按向量积的运算法则可得
因为、、是两两相互垂直的单位向量，故有
从而掉掉落
为了便于记忆，可借用行列式表示为
设向量，。打算，并打算以、为邻边的平行四边形的面积。
解：
。
根据向量积的模的多少何意思，的模在数值上就是以、为邻边的平行四边形的面积。因此其面积为
。
介绍三个向量共面的不雅点。假如三个向量在一个平面上，或经过平行挪动后能在一个平面上，则称此三个向量共面。
问向量，，能否共面？
解：断定三个向量能否共面，只有断定其中两个向量的向量积能否与第三个向量垂直，假如垂直，则三个向量共面，不然不共面，为此只有打算能否为零。
所以
故、、共面。
求单位向量，使，。其中，。
解：因为，，故，为此打算
与平行的单位向量应有两个：
。
功课
习题7-2
1．2．4．6．8．9．11．12．13．
§7.3 平面及其方程
平面的点法度方程
断定一个平面的前提很多，但在剖析多少何里最基本的前提是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。以后我们将看到很多其余前提都可转化为此。
垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因此一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
假设平面经过必定点且其法线向量为，下面来树破平面方程。
设点是平面上任一点（图6-17）。则向量必与平面的法线向量垂直，于是，而，，所以
（1）
这就是平面上任一点的坐标所满意的方程。
反过去，假如不在平面上，那么向量与法线向量必不垂直，从而，即不在平面上的点的坐标不满意的方程（1）
由此可知，平面上任一点的坐标都满意方程（1）；不在平面上的点的坐标都不满意方程（1）。如许方程（1）就是平面的方程。因为方程（1）是由平面上一点及它的一个法线向量断定的，所以方程（1）叫做平面的点法度方程。
因为平面的法线向量有无穷多个，假如我们取平面的另一个法线向量，方程（1）的情势会不会改变呢？因为，故有
因为
得
其中，不然为零向量。消去后与（1）式雷同，这阐明利用平面方程的点法度时，法线向量可能在该平面全部法线向量中恣意拔取。
求过三点的平面方程。
解：先找该平面的法线向量，因为向量与向量、都垂直，而，所取所求平面的法线向量为
根据平面方程的点法度（1），得所求平面方程为
即
平面的一般式方程
从平面的点法度方程（1）可能掉掉落
令，则得
（2）
这阐明平面方程是的一次方程。
反之，设差别为零，则形如（2）的的一次方程都表示一个平面。因为任取满意（2）的一组数，即有
（3）
将（2）式与（3）式相减，得
这就是过点且存在法线向量的平面的点法度方程。这阐明任一的一次方程均表示一个平面。
因此将方程（2）称为平面的一般方程，它表示的平面存在法线向量。
比方，方程
表示一个平面，是这个平面的一个法线向量。
已知平面经过坐标轴上的3个定点，求此平面方程（其中）。
解：设所求平面方程为
因为三点都在该平面内，所以这三点的坐标都满意方程（2）；即有
由此得
将代入方程（2），消去，便得所求平面方程为
（4）
此方程由称为平面的截距式方程，其中分辨是平面在轴上的截距（图6-18）。
在平面的一般方程式（2）中：
当时，方程（2）成为，它表示一个经过原点的平面。
当时，方程（2）成为，法线向量垂直于轴，方程表示一个平行于轴的平面。
同样，分辨表示平行轴跟轴的平面。
当时，方程（2）成为或，法线向量同时垂直于轴跟轴，，方程表示一个平行于面的平面。
同样，方程分辨表示平行于面，面的平面。
求过点且平行于轴的平面方程。
解法一 因为平面平行于轴，故可设平面方程为
在平面上，所以有
解得
所求平面方程为
即
解法二 设所求平面的法线向量为，则
，
取定点，所以所求平面方程为
即
三、两平面的夹角
我们规定为两平面的法向量的夹角（）为两平面的夹角。各取两平面上的一个法线向量，它们之间的夹角不是两平面之间的夹角，就是两平面之间夹角的补角，所以不管那种情况，两平面的夹角余弦等于两个法线向量夹角余弦的绝对值
设平面跟的方程分辨为
设平面跟的夹角为，由两个向量的夹角余弦公式，轻易掉掉落平面跟的夹角余弦的打算公式。
因为平面跟的法线向量分辨为
于是得
利用两向量平行、垂直的充要前提，我们轻易掉掉落两平面平行、垂直的充要前提
平面跟平行的充要前提是
平面跟垂直的充要前提是
例4 设平面跟的方程分辨为，求跟的夹角。
解：平面跟的法线向量分辨为
跟的夹角余弦为
所以
例5 设是平面外一点，求到这个平面的间隔（图6-19）。
解：在平面上任取一点，并作一法线向量，考虑到与的夹角也可能是钝角，得所求的间隔
设为与向量偏向分歧的单位向量，那么有
而
所以
因为
所以
由此掉掉落点到的间隔公式：
功课
习题7-3
1．2．3．4．5．7．8．9．
§7.4 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
破体多少何中，我们晓得两个订交平面断定一条直线，即它们的交线；反之任何一条空间直线也可能看作由经过这条直线的两个平面所断定。
设有订交平面（图6-20）
：
：
它们的交线为，那么既在平面上，又在平面上，因此直线上任一点的坐标均满意此二平面的方程，即满意方程组
（1）
反之，不在直线上的点不克不及同时在平面跟上，因此不克不及满意方程组（1），所以方程组（1）为直线的方程，将它称为直线的一般方程。其中、、跟、、对应不成比例。
三、空间直线的点向式跟参数方程
假如一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量叫做这条直线的偏向向量。轻易晓得，直线上任一向量都平行该直线的偏向向量。
若直线经由过程定点，且它的偏向向量为，求的方程。
设点是直线上恣意一点，则，且，从而
（2）
因为直线上任一点的坐标均满意方程（2），直线外任一点的坐标都不满意此方程，故方程（2）就是直线的方程，称为直线的点向式方程（又称对称式或标准式方程）。的偏向向量的坐标称为直线的偏向数。
怎样懂得（2）式是直线方程呢？现实上（2）式表示两个平面方程的联破。比方
当中有一个为零时，如，那么（2）式所表示的直线的方程为
当中有两个为零时，如，那么（2）式所表示的直线的方程为
由直线方程的点向式，轻易导出直线的参数方程。如设
那么 （3）
方程组（3）就是直线的参数方程。
求经由过程两点跟的直线方程（用点向式跟参数方程表示）。
解：设直线的偏向向量为，则
取定点，则直线方程的点向式为
直线的参数方程为
求过点且与平面：垂直的直线方程。
解：因为所求直线垂直于平面，所以可取的法线向量为直线的偏向向量。即
故所求直线方程为
把直线的一般方程
化为直线的点向式方程。
分析：直线在这两个平面上，所以其偏向向量应同时垂直于这两个平面的法线向量，再在直线上找一点，即可写出点向式。
解：求直线上一个点时，可在三个变量中恰外地给定其中一个值，从而求出其余两个值。如令，得
解得，，所以直线上的一点是。
设直线的偏向向量为，又两平面的法线向量分辨为，因为，所以
即
所以直线的点向式方程为
例4 求经由过程点且经由过程直线：
的平面方程。
解： 设所求平面的法线向量为，已知点为直线上一点，直线的偏向向量为，因为所求平面经由过程点及直线，也就是经由过程点及点。从而知：
与垂直，与垂直。故有
所求平面的方程为
即
例5 经由过程点作平面的垂线，求平面上的垂足。
分析：求出过点且垂直于平面的直线方程，然后直线方程与平面方程联破，其解即为垂足的坐标。
解：过点且垂直与平面的直线方程为
化为参数方程，得
代入平面方程，得
解出从而得垂足：
两直线的夹角
我们规定两直线的偏向向量间的夹角（）为两直线的夹角。
设直线跟的偏向向量顺次为，轻易晓得直线跟的夹角余弦等于两直线偏向向量夹角余弦的绝对值。
（4）
从两向量垂直、平行的充分须要前提可得下列结论：
两直线跟相互垂直的充分须要前提是；
两直线跟相互平行的充分须要前提是。
例6 求两直线跟的夹角，其中：；：。
解：直线跟的偏向向量顺次为，设直线跟的夹角为，那么由公式（4）有
直线与平面的夹角
设直线的偏向向量为，平面的法线向量为，为直线与法线向量地点直线之间的夹角，我们规定为直线的与平面的夹角。
利用两直线的夹角，则，又，
所以
（5）
从两向量垂直、平行的充分须要前提可得下列结论：
直线与平面垂直的充分须要前提是；
直线与平面平行的充分须要前提是。
例7 断定直线：与平面：的地位关联。
解：直线的偏向向量，平面的法线向量。
因为
所以直线与平面平行。进一步断定直线能否在平面上，取直线上一点，看点能否在平面内，将点的坐标代入平面的方程，显然点的坐标满意平面的方程。
故 直线在平面上。
五、平面束及其利用
设直线由方程组
所断定，其中系数与错误应成比例，即由（5）（6）表示的平面不平行。
树破三元一次方程
（7）
其中为恣意常数。
因与错误应成比例，对任一值，方程（7）
的系数，，不全为零，从而方程（7）表示一个平面。
若一点在直线上，则点的坐标必同时满意方程(5)跟(6)，因此，也必满意(7)，则方程(7)表示过直线的一个平面。并且对差其余值，方程(7)表示过直线的差别平面。
反过去，经由过程直线的任何平面(除平面(6)外)，都包含在方程(7)所表示的一族平面内。
经由过程定直线的全部平面的全部称为平面束，而方程(7)称为过直线的平面束方程。
例8 求直线：
在平面：
上的投影直线的方程。
解：直线在平面上的投影直线，应在过且垂直于平面的平面上，而过直线的平面束方程为
即
其中为恣意常数。
它与平面相垂直前提为
即
故，过直线且垂直于平面的平面为
从而，投影直线的方程为
功课
习题7-4
1．2．3. 4．5. 6．8．
§7.5 曲面与二次曲面
一、曲面方程的不雅点
在第四节中，我们曾经晓得了，在空间中一个平面可能用一个三元一次方程来表示；反过去，一个三元一次方程的图形是一个平面。在一般情况下，假如曲面与三元方程
（1）
有下述关联：
曲面上任一点的坐标都满意方程（1）；
不在曲面上的点的坐标都不满意方程（1）
那么方程（1）就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程（1）的图形（图6-21）。
象在平面剖析多少何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间剖析多少何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个法则活动而成的轨迹。
应用这个不雅念，我们来树破球面方程。
例1 若球心在点，半径为，求该球面方程。
解：设是球面上任一点，那么
又
故 （2）
这就是球面上的点的坐标所满意的方程，而不在球面上的点的坐标都不满意该方程，所以该方程就是以为球心，为半径的球面方程。
假如球心在原点，那么，从而球面方程为
将（2）式开展得
所以，球面方程存鄙人列两个特点：
它是之间的二次方程，且方程中缺项；
的系数雷同且不为零。
现在我们要问，满意上述两个特点的方程，它的图形能否为球面呢？
例2 方程表示怎样的曲面？
解：配方，得
所以所给方程为球面，球心为，半径为。
例3 方程能否表示球面？
解：配方，得
显然不如许的实数能使上式成破，因此原方程不代表任何图形。
以上标明作为点的多少何轨迹的曲面可能用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量间的方程平日表示一个曲面。因此在空间剖析多少何中对于曲面的研究，有下面两个基本成绩。
已知一曲面作为点的多少何轨迹时，树破曲面方程。
已知坐标间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面外形。
例1是从已知点的轨迹树破曲面方程的例子，例2、例3是由已知间方程研究它所表示的曲面的外形的例子。
下面，作为基本成绩（1）的例子，我们探究扭转曲面；作为基本成绩（2）的例子，我们探究柱面跟二次曲面。
二、扭转曲面
一条平面曲线绕该平面上一条定直线扭转一周所构成的曲面叫做扭转曲面。扭转曲线跟定直线顺次叫做扭转曲面的母线跟轴。
设在坐标面上有一条已知曲线，它的方程为，曲线绕轴扭转一周，掉掉落一个以轴为轴的扭转曲面（图6-22）
设为曲线上一点，则有
（3）
当曲线绕轴扭转时，点随绕到另一点，这时，且点到轴的间隔为
将，代入（3）式，便掉掉落
（4）
这就是所求的扭转曲面的方程。
由此可知，在曲线的方程中将改成便得曲线绕轴扭转所成的扭转曲面的方程。
同理，曲线绕轴扭转所成的扭转曲面的方程为
（5）
求坐标面上的抛物线绕轴扭转而成的扭转曲面的方程。
解：绕轴扭转所成的扭转曲面叫扭转抛物面（图6-23），它的方程为
例5 将坐标面上的双曲线
分辨绕轴跟轴扭转一周，求所生成的扭转曲面的方程。
解：绕轴扭转所生成的扭转曲面叫做扭转单叶双曲面，它的方程为
绕轴扭转所生成的扭转曲面叫做扭转双叶双曲面，它的方程为
例6 直线绕另一条与订交的直线扭转一周，所得扭转曲面叫做圆锥面。两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角（）叫做圆锥面的半顶角。试树破顶点在原点，扭转轴为轴，半顶角为的圆锥面的方程（图6-24）。
解：在坐标面上直线的方程为，因为扭转轴为轴，所以只有将方程中的改成，便掉掉落这圆锥面的方程
或
其中。
三、柱面
设直线平行于某定直线并沿定曲线挪动，则直线构成的轨迹叫做柱面。定曲线叫做柱面的准线，直线叫做柱面的母线。我们只探究准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。这种柱面方程有什么特点呢？下面举例阐明。
问方程表示什么曲面？
在坐标面上，方程表示圆心在原点，半径为的圆。在空间直角坐标系中，方程缺，这意味着不管空间中的点的竖坐标怎样，但凡横坐标跟纵坐标满意这方程的点都在方程所表示的曲面上；反之，但凡点的横坐标跟纵坐标不满意这个方程的，不管竖坐标怎样，这些点都不在曲面上，即点在曲面上的充分须要前提是点在圆上。而是在过点且平行于轴的直线上，这就是说方程表示：由经由过程坐标面上的圆上的每一点且平行于轴（即垂直于坐标面）的直线所构成，即方程表示柱面，该柱面称为圆柱面（图6-25）。
一般地，假如方程中缺，即，类似于下面的探究，可知它表示准线在坐标面上，母线平行于轴的柱面。而方程分辨表示母线平行于轴跟轴的柱面方程。
比方方程，方程中缺，所以它表示母线平行于轴的柱面，它的准线是面上的抛物线，该柱面叫做抛物柱面（图6-26）。
又比方，方程表示母线平行于轴的柱面，其准线是面上的直线，所以它是过轴的平面（图6-27）。
四、二次曲面
最简单的曲面是平面，它可能用一个三元一次方程来表示，所以平面也叫做一次曲面。与平面剖析多少何中规定的二次曲线类似，我们把三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。拔取恰当的空间直角坐标系，可得它们的标准方程，下面就二次曲面的标准方程来探究二次曲面的外形。
椭圆锥面
以垂直于轴的平面截此曲面，当时得一点；当时，得平面上的椭圆
当变更时，上式表示一族长短轴比例稳定的椭圆，当从大到小变为0时，这族曲线从大到小并缩为一点。综合上述探究，可得椭圆锥面（1）的外形（如图6-28）
平面与曲面的交线成为截痕。经由过程综合截痕的变更来懂得曲面外形的方法称为截痕法。
本节前面探究过扭转曲面，我们还可能利用伸缩变形的方法，由已知的扭转曲面来得出二次曲面的大致外形。
先介绍伸缩变形法。曲面沿轴偏向伸缩倍，曲面的点变为点，其中，因为点在曲面上，所以有，故。
比方将圆锥面的图形沿轴偏向伸缩倍，则圆锥面即变成椭圆锥面。
椭球面
把面上的椭圆绕轴扭转，所得的曲面方程为，该曲面称为扭转椭球面。再把扭转椭球面沿轴偏向伸缩便得椭球面（2）（图6-29）。
（3）双曲面
单叶双曲面
双叶双曲面
把面上的双曲线绕轴扭转，得扭转单叶双曲面，把此扭转曲面沿轴偏向伸缩倍，即得单叶双曲面（如图6-30）。类似的方法可得双叶双曲面（如图6-31）
（4）抛物面
椭圆抛物面
双曲抛物面（马鞍面）
把面上的的抛物线绕轴扭转，得扭转抛物面，把此扭转曲面沿轴偏向伸缩，即得椭圆抛物面（如图6-32）。
我们用截痕法来探究双曲抛物面的外形（如图6-33）。用平面截此曲面，得截痕为平面上的抛物线
此抛物线开口向下，其顶点坐标为。当变更时，的外形稳定，只是地位平移，而的顶点的轨迹为平面上的抛物线。
另有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面
顺次为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。柱面的外形在前面曾经探究过，这里不再冗述。
功课
习题7-5
1（1，2）. 3（1，2，3）.
§7.6 空间曲线及其方程
一、空间曲线一般方程
从§6-5，我们晓得，空间直线可看作两个订交平面的交线。一般地，空间曲面也可看作两个订交曲面的交线。
设跟是两个订交曲面的方程
则方程组 （1）
表示交线的方程，称为空间曲线的一般方程。
例1 方程组表示什么曲线？
解：表示圆柱面，它的母线平行于轴，而表示平行于坐标面的平面，因此它们的交线是圆。所以
表示圆，这个圆在的平面上。
例2 方程组表示什么曲线？
解：因为表示双曲抛物面，表示平行于在面的平面，它们的交线是平面上的抛物线。现实大将代入，得，因此它表示平面上，顶点在开口向上的抛物线。
二、空间曲线的参数方程
从§6-5中，我们还晓得，空间直线的参数方程为
这里都是参数的线性函数。一般地，假如是参数的函数，方程组
（2）
平日表示一条空间曲线，方程组（2）叫做空间曲线的参数方程。当给定时，就掉掉落曲线上的一个点；跟着的变化便可掉掉落曲线上的全部点。
例3 设圆柱面上有一质点，它一方面绕轴以等角速度扭转，另一方面以等速度向轴正偏向挪动，开端时即时，质点在处，求质点活动方程。
解：设时光时，质点在（如图6-34），是在面上的投影，则
因此质点的活动方程为
此方程称为螺旋线的参数方程。
三、空间曲线在坐标面上的投影
以空间曲线为准线，母线平行于轴（即垂直于面）的柱面叫做曲线对于面的投影柱面，投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，简称投影。
怎样来求空间曲线的投影柱面跟投影曲线呢？
设空间曲线的方程为
（3）
消去变量得方程
（4）
由上节晓得，方程（4）表示母线平行于轴的柱面。
而方程（4）是由方程组（3）消去后所得的成果，因此满意（3）的必定满意（4），这阐明方程组（3）所表示的曲线上的全部的点都在方程（4）所表示的柱面上。
因此方程（4）所表示的柱面必定包含以方程组（3）所表示的曲线为准线，母线平行于轴的柱面，即空间曲线对于面的投影柱面。而方程组
所表示的曲线必定包含空间曲线在面上的投影。
同理，消去方程组（3）中变量或变量再分辨跟或联破，我们就可得包含空间曲线在面或上的投影的曲线方程：
或
例4 求扭转抛物面跟平面的交线在面上的投影曲线方程。
解：曲线的方程为
消去，得柱面方程 ，轻易看出，这是交线对于面的投影柱面方程，于是，交线在面上的投影曲线方程为
在重积分跟曲面积分的打算中，每每要断定一个破体或曲面在坐标面上的投影，这时就须要利用投影柱面跟投影曲线。
例5 设一破体由上半球面跟锥面所围成（图6-35），求它在面上的投影。
解：半球面跟锥面的交线为
消去，掉掉落，轻易看出，这刚好是交线对于面的投影柱面，因此交线在面上的投影曲线为
这是一个面上的圆。于是所求破体在面上的投影就是该圆在面上所围成的部分：。
功课
习题7-6
1（1，2，3，4）． 2． 3.
END C7
