奥鹏作业网西交《高等数学（下）》拓展资本（二）
第九章 重积分
例题1?打算 ，其中 D 为长方形域
剖析
一般情况下，若 D 可表示为 ，且 为 D 内的持续函数，则有
可能认为将二重积分 化为定积分 与之积。
例题2?打算 ，其中 D 为 与 围成的封闭地区。
剖析 积分地区 D 的图形如图所示。
由 可解得两条曲线的交点（-1，－1），（0，0），（1，1）
D 可能分为两部分。记第一象限部分为?D 1 ，第三象限部分 为 D 2 。
假如先对 y 积分，后对 x 积分。作平行于 y 轴的直线与地区 D 订交，沿 y 轴正偏向看：
在 D 2 内进口曲线为 ，出口曲线为 。因此 D 2 可能表示为
在 D 1 内进口曲线为 ，出口曲线为 。因此 D 1 可能表示为
于是
※留神 画出积分地区 D 对正确地选定二次积分限是有利的。现实上，假如不画出积分地区，可能认为
而招致错误。
例题3?打算 ，其中 D 由 所断定。
剖析 积分地区 D 为以原点为圆心，半径为 2 的圆域，可能省略不画。
因为积分地区 D 对于 y 轴的对称，依二重积分的对称性质（见本章例题 2），考虑被积函数对于x 的奇偶性。易见 对于 x既非奇函数，也非偶函数。但是，若记 的奇函数为 x 的偶函数。因此由例题 2 中的结论有
因为 D 也对于 x 轴对称 为 y?的奇函数，因此
故
※留神 假如积分地区 D 对于坐标轴对称，应当留神考虑被积函数对于 x 或 y 的奇偶性，可能简化运算。
例题4求 ，其中 D 为所包抄在第一象限内的地区。
剖析 积分地区 D 的图形如图所示。
利用极坐标系。 D 的界限曲线
可能表示为 可能表示为可能表示为可能表示为 于是 D 可能表示为
故
上式中利用了 这是由 而得来。
例题5?打算三重积分 ，其中 的界限曲面 所围成的地区。
剖析 积分地区 的图形如图所示。
解法1 所给积分地区 为球，因此
可考虑利用球面坐标系打算三重积分。
此时 的界限曲面
可能表示为 。地区 可能表示为
因此
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解法2 留神到被积函数仅依附一个变量 z ，可能考虑先二重积分再单积分的方法打算。
因为积分地区 中限制 。若记 的的截面为。
则
原式
解法3 因为地区 在 面的投影地区 D 为圆：，可知本例也可能利用柱 面坐标打算。在柱面坐标系下， 的界限曲面的方程可化为。因此 可以表示为
故
原式
※留神从情势上本例为标准的利用球面坐标打算的标题，但是由打算的过程可能发明，本例采取先二重积分后单积分打算或采取柱坐标系打算都要比例利用球面坐标运算轻便。这标明在算三重积分时，应当留神抉择恰当方法，以简化运算。
