南开19秋《概率论与统计原理》课程期末复习资料

《概率论与统计原理》课程期末复习资料

《概率论与统计原理》课程讲稿章节目录：

第一章  事件的概率

§1.1    随机事件和样本空间

1.1.1  随机现象与随机试验

1.1.2  随机事件

1.1.3  样本空间

§1.2    事件的关系和运算

1.2.1  事件的关系和运算

1.2.2  事件与集合的关系

1.2.3  事件的运算性质

§1.3    随机事件的概率

1.3.1  概率的统计定义

1.3.2  古典型概率

1.3.3  几何型概率

§1.4  概率的公理化定义

1.4.1   概率的三条公理（概率的公理化定义）

1.4.2  概率的性质

§1.5    条件概率和事件的独立性

1.5.1  条件概率

1.5.2  乘法公式

1.5.3  全概率公式

1.5.4  贝叶斯公式

1.5.5  事件的独立性

第二章  随机变量及其分布

§2.1  随机变量及其分布函数

2.1.1  随机变量

2.1.2  随机变量的分布函数

§2.2  离散型随机变量

2.2.1离散型随机变量及其分布

2.2.2  常用离散型概率分布

§2.3  连续型随机变量

2.3.1  连续型随机变量的定义

2.3.2  常用连续型概率分布

§2.4    随机变量函数的分布

2.4.1  离散型随机变量函数的分布

2.4.2  连续型随机变量函数的分布

§2.5    多维随机变量简介

2.5.1  多维随机变量的定义

2.5.2  二维随机变量的联合分布函数

2.5.3  边缘分布函数

2.5.4  随机变量的独立性

第三章  随机变量的数字特征

§3.1  随机变量的数学期望

3.1.1  数学期望的定义

3.1.2  随机变量函数的数学期望

3.1.3  数学期望的性质

§3.2  随机变量的方差

3.2.1  方差和标准差的定义

3.2.2  方差的性质

3.2.3  切比雪夫不等式

§3.3  常用分布的数学期望和方差

3.3.1  常用离散型分布的数学期望和方差

3.3.2  常见连续型分布的数学期望和方差

§3.4  随机变量的矩

第四章  极限定理

§4.1  大数定律

4.1.1随机变量列的极限

4.1.2  大数定律

§4.2  中心极限定理

4.2.1  列维-林德伯格定理

4.2.2  棣莫佛-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理

第五章  统计原理

§5.1  数理统计的基本概念

5.1.1  总体和样本

5.1.2  统计量

5.1.3  经验分布函数

§5.2  抽样分布

5.2.1  χ2分布

5.2.2  t分布

5.2.3  正态总体的抽样分布

§5.3  参数估计

5.3.1  统计估计的概念

5.3.2   参数的点估计

5.3.3  正态总体参数的区间估计

§5.4   假设检验

5.4.1  一个总体均值的假设检验

5.4.2  一个正态总体方差σ2的假设检验

5.4.3  一个总体比率的假设检验（大样本）

一、客观部分：（单项选择）

★考核知识点: 事件的关系和运算

考核知识点解释：

“事件A与事件B至少有一个发生”的事件，称为事件A与事件B的和（或并），记作A∪B或A+B 。

“事件A与事件B同时发生”的事件，称为事件A与事件B的积（或交），记作A∩B或AB。

“事件A发生而事件B不发生”的事件，称为事件A与事件B的差，记作A-B 。

对于事件A，“事件A不发生”这一事件，称为A的对立事件（或逆事件），记作 。

★考核知识点: 概率的公理化定义

考核知识点解释：

概率的三条公理（概率的公理化定义）

公理1    0≤P（A）≤1

公理2    P（Ω）=1

公理3    对两两不相容的事件A1，A2，…，有

P（A1 + A2 + … + An + …）= P（A1）+P（A2）+…+P（An）+…

★考核知识点: 概率的统计定义

考核知识点解释：

设在n次重复试验中事件A出现了nA次，则称比值 为事件A发生的频率，即概率的统计定义。

★考核知识点: 均匀分布

考核知识点解释：见均匀分布

★考核知识点: 统计量的定义

考核知识点解释：

设（X1，X2，…，Xn）是来自总体X的一个简单随机样本，称样本的函数T=g（X1，X2，…，Xn）为统计量，如果它不依赖于任何未知参数。

★考核知识点: 假设检验中的两类错误

考核知识点解释：

在假设检验中，通常会犯两类错误，我们希望两类错误的概率都尽量小．但是在样本容量n固定时是做不到的：一般来说，第一类错误的概率越小，第二类错误的概率就越大，反之亦然．要保证两类错误的概率都小，唯一的办法就是增大样本容量。

★考核知识点: 假设检验中的两类错误

考核知识点解释：见假设检验的两类错误

二、主观部分：

（一）、填空部分

★考核知识点：古典型概率

考核知识点解释

设随机试验E是含有n个基本事件的古典概型，事件A包含m个基本事件，则事件A的发生的概率为P（A）= 。

★考核知识点：古典型概率中摸球模型

考核知识点解释

见古典型概率。摸球模型的结果与k无关，从而说明日常人们抽签的结果与抽签顺序无关的道理。

★考核知识点：概率的性质

考核知识点解释：见概率的性质

★考核知识点: 概率的性质

考核知识点解释：见概率的性质

★考核知识点: 概率的性质

考核知识点解释：见概率的性质

★考核知识点：事件的独立性

考核知识点解释：

设A，B为两个事件，如果P( AB ) = P( A )P( B )，则称A与B相互独立

★考核知识点: 二项分布的数字特征

考核知识点解释：

二项分布的数学期望EX= np，方差DX=np（1-p）

★考核知识点: 泊松分布的数字特征

考核知识点解释：

泊松分布的数学期望EX=λ，方差DX=λ

★考核知识点: 正态分布的数字特征，数学期望和方差的性质

考核知识点解释：

若X服从正态分布N（μ，σ2），则EX=μ，DX = σ2，EX2=μ2+σ2，D（aX+b）=a2DX

★考核知识点: 正态总体均值的点估计和区间估计

考核知识点解释：

总体均值μ的极大似然估计为 ，μ的 置信区间为：（ – ， + ）

置信区间的长度为

★考核知识点: 关于总体均值和总体方差假设检验的检验统计量

考核知识点解释：

（1）一个正态总体均值的检验

当 已知时检验统计量为

当 未知时检验统计量为

（2）一个正态总体方差的检验的检验统计量为

（二）、计算题

1、袋中有6个球，其中4白2黑。分别用有放回和不放回两种方法取球，求（1）取到的两个球都是白球的概率；（2）取到的两个球颜色相同的概率；（3）取到的两个球中至少有一个是白球的概率。

★考核知识点：古典型概率以及概率的性质

考核知识点解释

概率的性质：

性质1  P（Ø）= 0．

性质2 若A1，A2，…，An两两不相容，则P（ ）=

性质3  对于任意事件A，有P（A）=1-P（ ）

性质4   对于任意事件A和B，有P（A-B）= P（A）- P（AB）

性质5（  设A和B是任意两个事件，则

P（A+B）= P（A）+ P（B）- P（AB）

2、三台机床加工同样的零件，次品率依次为0.04，0.07和0.05．加工出来的零件混放，并设第一台机床，第二台机床和第三台机床加工的概率分别为0.4，0.2，0.4．现任取一零件，（1）求它是合格品的概率；（2）已知取出的零件是合格品，求它由第二台机床加工的概率

★考核知识点：全概率公式和贝叶斯公式

考核知识点解释

全概率公式：

设事件A1，A2，…，An是一个完备事件组，且P（Ai）＞0（i=1，2，…，n），则对任意事件B，有

P（B）= P（Ai）P（B|Ai）

贝叶斯公式

设事件A1，A2，…，An是一个完备事件组，B为任一满足P（B）＞0的事件，则

P（Ai|B）= （ i=1，2，…，n）

3、设随机变量X的概率密度函数为 （-∞＜x＜+∞），求（1）常数A及分布函数F（x）；（2） ， 。

★考核知识点：连续型随机变量

考核知识点解释

连续型随机变量概率密度函数满足

连续型随机变量的分布函数为

对于任意事件A，有

对于任意实数 x，有P{X=x}=0

对于连续型随机变量，有

4、设随机变量X的概率密度为 ，求（1）常数A，（2）P（ ）（3）X的概率密度。

★考核知识点：连续型随机变量

考核知识点解释：见连续型随机变量

5、设随机变量服从参数为λ的指数分布，（1）求EX和DX；（2）当k >0时，求P{X>k}。

参考答案：

（1）EX= ，DX=

（2）P{X>k}= λe -λx dx= e –λk

★考核知识点：指数分布以及数字特征

考核知识点解释：

如果随机变量X的密度函数为

其中λ＞0，则称随机变量X服从参数为λ的指数分布。

指数分布的数字特征：EX= ，DX=

6、设随机变量X~N （μ，σ2），求P{X<μ}，P{X>μ}，P{μ – kσ<X<μ+kσ}（k=1，2，3）。

★考核知识点：正态分布

考核知识点解释：

若X～N（μ，σ2），则U＝(X-μ)/σ～N（0，1）

7、设随机变量X在区间[a，b] 上服从均匀分布，求（1）X的概率密度函数；（2）X的分布函数；（3）X的数学期望EX和方差DX。

★考核知识点：均匀分布及其数字特征

8、设随机变量X的概率分布为

X -2 -1 0 1 2

P 0.1 0.2 .04 0.2 0.1 求（1）Y=2X+1概率分布；（2）Z=X2的概率分布；（3）

★考核知识点：离散型随机变量函数的分布，随机变量的数学期望和方差

9、对圆的直径进行测量，假设其测量值X在区间[0，10]上服从均匀分布，求圆的面积的数学期望。

★考核知识点：随机变量函数的数学期望

10、设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]上的某一整数，商店每销售一个单位的商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位的商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不小于9280元，试确定最少进货量 。

★考核知识点：随机变量函数的数学期望

11、设X1，X2，…，Xn是n个相互独立的随机变量，EXi= μ，DXi= σ2。令 ，求E ，D 。

参考答案：

★考核知识点：随机变量的数学期望和方差

12、设总体X服从参数为p的0-1分布，求参数p的极大似然估计量。

★考核知识点：极大似然估计法

13、设随机变量X服从参数为λ的指数分布（λ>0未知）。（X1，X2，…，Xn）是来自X的简单随机样本，求λ的矩估计量和极大似然估计量。

★考核知识点：矩估计法和极大似然估计法

14、设X为任意总体，EX =μ，DX =σ2＞0存在，但未知。（X1，X2，L，Xn）是来自总体X的简单随机样本，求μ和σ2的矩估计量。

★考核知识点：矩估计法

15、设随机变量X服从参数为（μ，σ2）的正态分布，其中为已知参数，σ2为未知参数。（X1，X2，…，Xn）是来自X的简单随机样本，求μ和σ2的极大似然估计量。

★考核知识点：极大似然估计法

16、某企业生产的滚珠直径X服从N（μ，0.0006）。现从产品中随机抽取6颗进行检测，得到它们的平均值为1.495cm，标准差为0.0226cm。试求滚珠平均直径的点估计和置信水平为0.95的置信区间。

★考核知识点：一个总体均值的点估计和区间估计

17、某厂生产的一种型号的电阻元件其平均电阻一直保持在2.64欧姆。改变生产工艺后，测得所生产的100个元件的平均电阻为2.62欧姆，标准差为0.06欧姆，在显著性水平0.01下，问新工艺对该电阻元件的生产有无显著影响？

★考核知识点：一个总体均值的假设检验

18、一批产品，按规定如果次品率超过了0.05就不能出厂。现从该批产品中随机抽取50件进行检查，发现其中4件是次品，问在显著性水平0.05下，该批产品能否出厂？

★考核知识点：一个总体比率的假设检验

（三）、解答题

1、写出下列随机试验的样本空间：

E1：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数；

E2：记录一段时间内某城市110报警次数；

E3：从含有三件次品a1，a2，a3和三件正品b1，b2，b3的六件产品中，任取两件，观察出现正品和次品的情况；

E4：从一批电脑中任取一台，观察无故障运行的时间；

E5：设平面上有一簇间距为a的平行线，现反复用一枚长度为l（l<a）的针投掷下去，投掷n次后，观察针与平行线相交的数目；

E6：向坐标平面区域D：x2 +y2≤100内随机投掷一点（假设点必落在D内），观察落点M的坐标。

★考核知识点：样本空间的概念

考核知识点解释

一个随机试验的所有基本事件构成的集合称为样本空间，用Ω来表示；每一个基本事件称为样本点，用ω来表示 ，即Ω ={ω}。

2、设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表示下列事件：

（1） A发生且B与C至少有一个发生

（2） A与B发生而C不发生

（3） A，B，C中至少有一个发生

（4） A，B，C中至少有两个发生

（5）A，B，C中不多于一个发生

（6） A，B，C中恰好有一个发生

（7）A，B，C都不发生

（8）A，B，C都发生

★考核知识点：事件的关系和运算

考核知识点解释

“事件A与事件B至少有一个发生”的事件，称为事件A与事件B的和（或并），记作A∪B或A+B 。

“事件A与事件B同时发生”的事件，称为事件A与事件B的积（或交），记作A∩B或AB。

“事件A发生而事件B不发生”的事件，称为事件A与事件B的差，记作A-B 。

对于事件A，“事件A不发生”这一事件，称为A的对立事件（或逆事件），记作 。